只要第n个矩存在，特征函数就可以微分n次，得到：

例如，假设X具有标准柯西分布。那么

它在 t=0处不可微，说明柯西分布没有期望值。另外，注意到

个独立的观测的样本平均值

具有特征函数

利用前一节的结果。这就是标准柯西分布的特征函数因此，样本平均值与总体本身具有相同的分布。

特征函数的对数是一个累积量母函数，它对于求出累积量是十分有用的注意有时定义累积量母函数为矩母函数的对数，而把特征函数的对数称为第二累积量母函数。[3]